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Gazapo en wikipedia (error en la sucesión de Fibonacci)

Estoy escribiendo unos apuntes (que, por supuesto, tienen licencia libre) sobre el uso del programa de cálculo simbólico Maxima bajo la interfaz wxMaxima, para un curso de formación orientado al profesorado de Matemáticas de secundaria y bachillerato, que estoy impartiendo.

En uno de los capítulos puse como ejemplo la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión, atribuida al Matemático italiano Leonardo de Pisa (1170 - 1250), más conocido con Fibonacci, se puede definir por recurrencia de la siguiente forma:


Fórmula de recurrencia


y está formada por los siguientes números (empezando por n=0):

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Esta sucesión tiene curiosas propiedades, entre ellas que la razón entre un término y el inmediatamente anterior tiende hacia el famoso (especialmente a raíz del libro y la película "El Código Da Vinci") número conocido como razón áurea, número áureo, o número phi (pronunciado fi), que es igual a


Expresión de phi


y se puede aproximar por 1,618033989.

Además de la expresión recursiva anterior, el término general de la sucesión de Fibonaci se puede escribir según una fórmula explícita en la que se utiliza el número de oro. Sabiendo esto, busqué en Wikipedia esta fórmula y encontré lo siguiente:


Término general,


siendo


1-phi.


Viniendo de Wikipedia, di esta fórmula como buena y la utilicé para obtener varios términos de la sucesión de Fibonacci, con el siguiente código en Maxima:

Phi : (1+sqrt(5))/2;
phi : 1-Phi;
fibonacci[n] := (Phi^n-(-phi)^(-n))/sqrt(5);
makelist(fibonacci[n],n,1,10);
ratsimp(%);

Para mi sorpresa, no obtuve la secuencia de números de la sucesión de Fibonacci, sino el siguiente resultado:


	      4			 2		      4
(%o6) [- -----------, 0, - -------------, 0, - ---------------, 0, 
	 sqrt(5) - 5	   2 sqrt(5) - 5       11 sqrt(5) - 25
					     4			   2
				    - ---------------, 0, - ---------------, 0]
				      29 sqrt(5) - 65	    38 sqrt(5) - 85

Repasé el código Maxima, por si me había equivocado. Estaba todo bien, el código que escribí se correspondía con la fórmula anterior. ¿Será que quien estaba equivocada es Wikipedia? ¡Pues efectivamente!

En realidad, para encontrar la fórmula correcta, solo hay que mirar wikipedia, pero en su versión en inglés. Además de ser mucho más completa, en esta página encontramos la verdadera fórmula:


Verdadera fórmula de Fibonacci


Utilizando esta expresión, todo fue bien.

  • Moraleja 1: hay que tener precaución y no fiarse de una única fuente, Wikipedia (o cualquier otra enciclopedia) puede tener una errata cuando menos te lo esperas.
  • Moraleja 2: ahora me va a tocar arreglar la wikipedia en español, es lo menos que puedo hacer para evitar este desatino.

Fibonacci

De la Wikipedia, en general, no te puedes fiar. Pero de la Wikipedia en español, menos. Las Wikipedias en los distintos idiomas son enciclopedias distintas.

En este caso se trata de un error tipográfico. Lo que han querido decir (perdonad que escriba en LaTeX) es:

$$
\hat{\phi} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1 - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1 - \phi
$$

Curiosamente, es fácil comprobar que:

$$
\hat{\phi} = 1 / \phi = (-\phi)^{-1}
$$

La fórmula se puede escribir en función de $\phi$ y $\hat{\phi}$, las dos raíces del polinomio característico $x^2 - x - 1$, pero se puede escribir también únicamente en función de $\phi$, sucintamente, gracias a la relación anterior.

Simplemente, han mezclado las dos fórmulas: en el numerador tenían que haber escrito $\phi^n - (-\phi)^{-n}$, que, con lo dicho previamente, está claro que equivale a la fórmula que correctamente has planteado.

Por cierto, como ejemplo está muy bien, pero no le recomendaría esta fórmula a nadie para calcular números de Fibonacci. Numéricamente, el error de redondeo provoca que se obtenga un error absoluto superior a la unidad rápidamente (a menos que se incremente la precisión de manera acorde). Claro que se puede intentar, como haces, la simplificación simbólica de las fracciones radicales, pero me temo que es muy costoso.

Por ejemplo, intenta calcular F(1000000) por el mismo método.

---
Francisco Palomo Lozano
Departamento de Lenguajes y Sistemas Informáticos
Escuela Superior de Ingeniería
Universidad de Cádiz

La fiabilidad

Esa es una de las polémicas más candentes de la Wikipedia.

Aunque hay voces y estudios que apoyan su fiabilidad quizás haya que llegar a la madurez de la Wikipedia en inglés para poder fiarse "a ciegas".

Y mientras a completar artículos con nuestros conocimientos y traducir artículos de otros idiomas


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